LAT1⇒DPFの平均PUDの計算

最後にLAT1からDPFへの平均PUDを計算します。

LAT1からDPFへの遷移(d)の平均PUDは、 $$ \begin{eqnarray} \overline{q_\text{DPF(d),IFR}}&=&\frac{1}{T_\text{lifetime}}\Pr\{\text{DPF via (d) at }T_\text{lifetime}\}\\ &=&\frac{1}{T_\text{lifetime}}\int_0^{T_\text{lifetime}}\Pr\{\text{LAT1 at }t\cap\text{SM down in }(t, t+dt]\}\\ &=&\frac{1}{T_\text{lifetime}}\int_0^{T_\text{lifetime}}\Pr\{\text{SM down in }(t, t+dt]\ |\ \text{LAT1 at }t\}\\ & &\ \ \ \ \cdot\Pr\{\text{LAT1 at }t\} \end{eqnarray} \tag{1089.1} $$

IF preventableのdown状態は、 $$ \begin{eqnarray} \Pr\{\text{IF}^{\text{R}}_{\text{prev}}\text{ down at }t\}&=&K_\text{IF,RF}\color{red}{(1-K_\text{IF,det})}\left[(1-K_\text{IF,MPF})F_\text{IF}(t)+K_\text{IF,MPF}F_\text{IF}(u)\right]\\ &=&K_\text{IF,RF}\color{red}{(1-K_\text{IF,det})}Q_\text{IF}(t) \end{eqnarray} \tag{1089.2} $$ となります。ただし、$Q_\text{IF}(t):=(1-K_\text{IF,MPF})F_\text{IF}(t)+K_\text{IF,MPF}F_\text{IF}(u)$です。

また、SMのup状態を、$A_\text{SM}(t):=(1-K_\text{SM,MPF})R_\text{SM}(t)+K_\text{SM,MPF}R_\text{SM}(u)$とすれば、 $$ \begin{eqnarray} \Pr\{\text{LAT1 at }t\}&=&\Pr\{\text{IF}^{\text{R}}_{\text{prev}}\text{ down at }t\cap\text{SM up at }t\}\\ &=&K_\text{IF,RF}\color{red}{(1-K_\text{IF,det})}\left[(1-K_\text{IF,MPF})F_\text{IF}(t)+K_\text{IF,MPF}F_\text{IF}(u)\right]A_\text{SM}(t)\\ &=&K_\text{IF,RF}\color{red}{(1-K_\text{IF,det})}Q_\text{IF}(t)A_\text{SM}(t) \end{eqnarray} \tag{1089.3} $$ と書けます。

一方、(1089.1)の右辺積分中の条件付き確率式は、 $$ \require{cancel} \begin{eqnarray} &&\hspace{-6em}\Pr\{\text{SM down in }(t, t+dt]\ |\ \text{LAT1 at }t\}\\ &=&\Pr\{\text{SM down in }(t, t+dt]\ |\ \text{SM up at }t\cap\bcancel{\text{IF}^{\text{R}}_{\text{prev}}\text{ down at }t}\}\\ &=&\Pr\{\text{SM down in }(t, t+dt]\ |\ \text{SM up at }t\}\\ &=&\lambda_\text{SM}dt \end{eqnarray} \tag{1089.4} $$ です。

(1089.3)、(1089.4)を(1089.1)に用いれば、 $$ \begin{eqnarray} (1089.1)&=&\frac{K_\text{IF,RF}\color{red}{(1-K_\text{IF,det})}}{T_\text{lifetime}}\int_0^{T_\text{lifetime}}\left[(1-K_\text{IF,MPF})F_\text{IF}(t)+K_\text{IF,MPF}F_\text{IF}(u)\right]\\ & &\cdot\left[(1-K_\text{SM,MPF})f_\text{SM}(t)+K_\text{SM,MPF}f_\text{SM}(u)\right]dt\\ &\approx&\bbox[#ccffff,2pt]{K_\text{IF,RF}\color{red}{(1-K_\text{IF,det})}\beta_\text{d}},\\ & &\text{ただし、}\beta_\text{d}:=\frac{1}{2}\lambda_\text{IF}\lambda_\text{SM}\left[(1-K_\text{IF,MPF})T_\text{lifetime}+K_\text{IF,MPF}\tau\right] \end{eqnarray} \tag{1089.5} $$ です。

従来記事では、(1089.5)の積分結果を$\beta$とし、$K_\text{IF,MPF}$と$K_\text{SM,MPF}$を合成した$K_\text{MPF}$を用いていました。しかし、LAT1⇒DPF(d)ではIFが先に潜在しており、SMは後から発生する故障です。したがって、露出時間を決めるのはIF側のMPF検出率$K_\text{IF,MPF}$であり、SM側の$K_\text{SM,MPF}$は一次近似結果には現れません。

すなわち、この遷移(d)に対応する量は、従来の$\beta$ではなく、 $\beta_\text{d}:=\frac{1}{2}\lambda_\text{IF}\lambda_\text{SM}\left[(1-K_\text{IF,MPF})T_\text{lifetime}+K_\text{IF,MPF}\tau\right]$ です。

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LAT2⇒DPFの平均PUDの計算

LAT2⇒DPFの遷移(c)の平均PUDを計算します。

LAT2の状態のうち、IF preventable部分について考えます。

$$ \begin{eqnarray} \overline{q_\text{DPF(c),IFR}}&=&\frac{1}{T_\text{lifetime}}\Pr\{\text{DPF via (c) at }T_\text{lifetime}\}\\ &=&\frac{1}{T_\text{lifetime}}\int_0^{T_\text{lifetime}}\Pr\{\text{LAT2}_{\text{prev}}\text{ at }t\cap\text{IF}^{\text{R}}\text{ down in }(t, t+dt]\}\\ &=&\frac{1}{T_\text{lifetime}}\int_0^{T_\text{lifetime}}\Pr\{\text{IF}^{\text{R}}\text{ down in }(t, t+dt]\ |\ \text{LAT2}_{\text{prev}}\text{ at }t\}\\ & &\ \ \ \ \cdot\Pr\{\text{LAT2}_{\text{prev}}\text{ at }t\} \end{eqnarray} \tag{1088.1} $$

IF preventableのup状態は、従来はMPF detectedをMPF latent扱いとしていましたが、本再検討ではMPF detectedをnon faultyとして扱います。したがって、IF preventableのup状態は、 $$ \begin{eqnarray} \Pr\{\text{IF}^{\text{R}}_{\text{prev}}\text{ up at }t\}&=&K_\text{IF,RF}\color{red}{K_\text{IF,det}}\left[R_\text{IF}(t)+F_\text{IF}(t)\right]\\ & &+K_\text{IF,RF}\color{red}{(1-K_\text{IF,det})}\left[(1-K_\text{IF,MPF})R_\text{IF}(t)+K_\text{IF,MPF}R_\text{IF}(u)\right]\\ &=&K_\text{IF,RF}\color{red}{K_\text{IF,det}}+K_\text{IF,RF}\color{red}{(1-K_\text{IF,det})}A_\text{IF}(t) \end{eqnarray} \tag{1088.2} $$ となります。ただし、$A_\text{IF}(t):=(1-K_\text{IF,MPF})R_\text{IF}(t)+K_\text{IF,MPF}R_\text{IF}(u)$です。

また、SMのdown状態を、$Q_\text{SM}(t):=(1-K_\text{SM,MPF})F_\text{SM}(t)+K_\text{SM,MPF}F_\text{SM}(u)$とすれば、 $$ \begin{eqnarray} \Pr\{\text{LAT2}_{\text{prev}}\text{ at }t\}&=&\Pr\{\text{IF}^{\text{R}}_{\text{prev}}\text{ up at }t\cap\text{SM down at }t\}\\ &=&\left[K_\text{IF,RF}\color{red}{K_\text{IF,det}}+K_\text{IF,RF}\color{red}{(1-K_\text{IF,det})}A_\text{IF}(t)\right]Q_\text{SM}(t) \end{eqnarray} \tag{1088.3} $$ となります。

一方、(1088.1)の右辺積分中の条件付き確率式は、 $$ \require{cancel} \begin{eqnarray} &&\hspace{-6em}\Pr\{\text{IF}^{\text{R}}\text{ down in }(t, t+dt]\ |\ \text{LAT2}_{\text{prev}}\text{ at }t\}\\ &=&\Pr\{\text{IF}^{\text{R}}\text{ down in }(t, t+dt]\ |\ \text{IF}^{\text{R}}_{\text{prev}}\text{ up at }t\cap\bcancel{\text{SM down at }t}\}\\ &=&\Pr\{\text{IF}^{\text{R}}\text{ down in }(t, t+dt]\ |\ \text{IF}^{\text{R}}\text{ up at }t\}\\ &=&\lambda_\text{IF}dt \end{eqnarray} \tag{1088.4} $$ です。

(1088.3)、(1088.4)を(1088.1)に用いれば、 $$ \begin{eqnarray} (1088.1)&=&\frac{K_\text{IF,RF}\color{red}{K_\text{IF,det}}\lambda_\text{IF}}{T_\text{lifetime}}\int_0^{T_\text{lifetime}}\left[(1-K_\text{SM,MPF})F_\text{SM}(t)+K_\text{SM,MPF}F_\text{SM}(u)\right]dt\\ & &+\frac{K_\text{IF,RF}\color{red}{(1-K_\text{IF,det})}}{T_\text{lifetime}}\int_0^{T_\text{lifetime}}\left[(1-K_\text{SM,MPF})F_\text{SM}(t)+K_\text{SM,MPF}F_\text{SM}(u)\right]\\ & &\cdot\left[(1-K_\text{IF,MPF})f_\text{IF}(t)+K_\text{IF,MPF}f_\text{IF}(u)\right]dt \end{eqnarray} \tag{1088.5} $$ となります。

ここで、(1088.5)の第二積分において、周期検査により露出時間が短縮されるかどうかを決めるのは、先に潜在しているSM側の$F_\text{SM}(u)$です。後から発生するIF故障密度側の$f_\text{IF}(u)$により、積分結果がさらに$\tau$側へ移るわけではありません。したがって、第二積分も従来の$\beta$ではなく、$\alpha$となります。

よって、正しい積分公式より、 $$ \begin{eqnarray} (1088.5)&\approx&K_\text{IF,RF}\color{red}{K_\text{IF,det}}\alpha+K_\text{IF,RF}\color{red}{(1-K_\text{IF,det})}\alpha\\ &=&\bbox[#ccffff,2pt]{K_\text{IF,RF}\alpha},\\ & &\text{ただし、} \alpha:=\frac{1}{2}\lambda_\text{IF}\lambda_\text{SM}\left[(1-K_\text{SM,MPF})T_\text{lifetime}+K_\text{SM,MPF}\tau\right] \end{eqnarray} \tag{1088.6} $$ です。

従来記事では、(1088.5)の第二積分を$\beta$とし、$K_\text{IF,MPF}$と$K_\text{SM,MPF}$を合成した$K_\text{MPF}$を用いていました。しかし、LAT2⇒DPF(c)ではSMが先に潜在しており、IFは後から発生する故障です。したがって、露出時間を決めるのはSM側のMPF検出率$K_\text{SM,MPF}$であり、IF側の$K_\text{IF,MPF}$は一次近似結果には現れません。

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LAT2⇒SPFの平均PUDの計算

次にLAT2からSPFの遷移(b)の平均PUDを計算します。この確率積分も、IF non preventable部分に関するものであるため、MPF detectedの変更の影響を受けません。

本稿では、旧記事における状態整理表は再掲せず、導出に必要な量のみを以下に定義します。ここで、周期検査間隔を$\tau$、車両寿命を$T_\text{lifetime}$とし、$u:=t\bmod\tau$とします。

LAT2の状態のうち、IF non preventable部分について考えます。

$$ \begin{eqnarray} \overline{q_{\text{SPF(b),IFR}}}&=&\frac{1}{T_\text{lifetime}}\Pr\{\text{SPF via (b) at }T_\text{lifetime}\}\\ &=&\frac{1}{T_\text{lifetime}}\int_0^{T_\text{lifetime}}\Pr\{\text{LAT2}_{\overline{\text{prev}}}\text{ at }t\cap\text{IF}^{\text{U}}\text{ down in }(t, t+dt]\}\\ &=&\frac{1}{T_\text{lifetime}}\int_0^{T_\text{lifetime}}\Pr\{\text{IF}^{\text{U}}\text{ down in }(t, t+dt]\ |\ \text{LAT2}_{\overline{\text{prev}}}\text{ at }t\}\\ & &\ \ \ \ \cdot\Pr\{\text{LAT2}_{\overline{\text{prev}}}\text{ at }t\} \end{eqnarray} \tag{1087.1} $$

ここで、IF non preventableのup状態は、$\Pr\{\text{IF}^{\text{U}}_{\overline{\text{prev}}}\text{ up at }t\}=(1-K_\text{IF,RF})R_\text{IF}(t)$です。また、SMのdown状態を、 $Q_\text{SM}(t):=(1-K_\text{SM,MPF})F_\text{SM}(t)+K_\text{SM,MPF}F_\text{SM}(u)$と定義すれば、 $$ \begin{eqnarray} \Pr\{\text{LAT2}_{\overline{\text{prev}}}\text{ at }t\}&=&\Pr\{\text{IF}^{\text{U}}_{\overline{\text{prev}}}\text{ up at }t\cap\text{SM down at }t\}\\ &=&(1-K_\text{IF,RF})R_\text{IF}(t)Q_\text{SM}(t) \end{eqnarray} \tag{1087.2} $$ となります。

一方、(1087.1)の右辺積分中の条件付き確率式は、 $$ \require{cancel} \begin{eqnarray} &&\hspace{-6em}\Pr\{\text{IF}^{\text{U}}\text{ down in }(t, t+dt]\ |\ \text{LAT2}_{\overline{\text{prev}}}\text{ at }t\}\\ &=&\Pr\{\text{IF}^{\text{U}}\text{ down in }(t, t+dt]\ |\ \text{IF}^{\text{U}}_{\overline{\text{prev}}}\text{ up at }t\cap\bcancel{\text{SM down at }t}\}\\ &=&\Pr\{\text{IF}^{\text{U}}\text{ down in }(t, t+dt]\ |\ \text{IF}^{\text{U}}\text{ up at }t\}\\ &=&\lambda_\text{IF}dt \end{eqnarray} \tag{1087.3} $$ です。

よって、(1087.1)式は、 $$ \begin{eqnarray} (1087.1)&=&\frac{1-K_\text{IF,RF}}{T_\text{lifetime}}\int_0^{T_\text{lifetime}}Q_\text{SM}(t)R_\text{IF}(t)\lambda_\text{IF}dt\\ &=&\frac{1-K_\text{IF,RF}}{T_\text{lifetime}}\int_0^{T_\text{lifetime}}Q_\text{SM}(t)f_\text{IF}(t)dt \end{eqnarray} \tag{1087.4} $$ となります。

ここで、$Q_\text{SM}(t)=(1-K_\text{SM,MPF})F_\text{SM}(t)+K_\text{SM,MPF}F_\text{SM}(u)$ であるため、(1087.4)は、 $$ \begin{eqnarray} (1087.4)&\approx&\frac{1-K_\text{IF,RF}}{2}\lambda_\text{IF}\lambda_\text{SM}\left[(1-K_\text{SM,MPF})T_\text{lifetime}+K_\text{SM,MPF}\tau\right]\\ &=&\bbox[#ccffff,2pt]{(1-K_\text{IF,RF})\alpha},\\ & &\text{ただし、} \alpha:=\frac{1}{2}\lambda_\text{IF}\lambda_\text{SM}\left[(1-K_\text{SM,MPF})T_\text{lifetime}+K_\text{SM,MPF}\tau\right] \end{eqnarray} \tag{1087.5} $$ です。

この導出では、SMが既にdownしている状態からIF non preventable故障が発生するため、積分の基本形は$Q_\text{SM}(t)f_\text{IF}(t)$となります。したがって、前稿と同じ$\alpha$が現れ、MPF detectedの扱いを変更しても、このSPF(b)項の結果は変わりません。

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OPR⇒SPFの平均PUDの計算

従来はMPF detectedをMPF latent扱いにしていたものを、non faultyに変更しました。そもそもMPFの意味はVSG preventableなIFのフォールト、すなわち1st SMによりVSGの抑止を受けたIFのフォールトであるため、SPFの計算に影響はありません。SPFは、IFのフォールトがnon preventable、すなわちVSG抑止不可の場合に起きるためです。

本稿では、旧記事における状態整理表は再掲せず、導出に必要な量のみを以下に定義します。ここで、周期検査間隔を$\tau$、車両寿命を$T_\text{lifetime}$とし、$u:=t\bmod\tau$とします。

OPRからSPFへの平均PUD(66.13)を計算します。

OPRからSPFへの平均PUDは、 $$ \begin{eqnarray} \overline{q_\text{SPF(a),IFU}}&=&\frac{1}{T_\text{lifetime}}\Pr\{\text{SPF via (a) at }T_\text{lifetime}\}\\ &=&\frac{1}{T_\text{lifetime}}\int_0^{T_\text{lifetime}}\Pr\{\text{OPR}_{\overline{\text{prev}}}\text{ at }t\cap\text{IF down in }(t, t+dt]\}\\ &=&\frac{1}{T_\text{lifetime}}\int_0^{T_\text{lifetime}}\Pr\{\text{IF down in }(t, t+dt]\ |\ \text{OPR}_{\overline{\text{prev}}}\text{ at }t\}\\ & &\ \ \ \ \cdot\Pr\{\text{OPR}_{\overline{\text{prev}}}\text{ at }t\} \end{eqnarray} \tag{1086.1} $$

ここで、IF non preventableのup状態は、 $$ \Pr\{\text{IF}^{\text{U}}_{\overline{\text{prev}}}\text{ up at }t\}=(1-K_\text{IF,RF})R_\text{IF}(t)\tag{1086.2} $$ また、SMのup状態を、$A_\text{SM}(t):=(1-K_\text{SM,MPF})R_\text{SM}(t)+K_\text{SM,MPF}R_\text{SM}(u)$と定義すれば、 $$ \begin{eqnarray} \Pr\{\text{OPR}_{\overline{\text{prev}}}\text{ at }t\}&=&\Pr\{\text{IF}^{\text{U}}_{\overline{\text{prev}}}\text{ up at }t\cap\text{SM up at }t\}\\ &=&(1-K_\text{IF,RF})R_\text{IF}(t)A_\text{SM}(t) \end{eqnarray} \tag{1086.3} $$ となります。

一方、(1086.1)の右辺積分中の条件付き確率式は、 $$ \require{cancel} \begin{eqnarray} &&\hspace{-6em}\Pr\{\text{IF}^{\text{U}}\text{ down in }(t, t+dt]\ |\ \text{OPR}_{\overline{\text{prev}}}\text{ at }t\}\\ &=&\Pr\{\text{IF}^{\text{U}}\text{ down in }(t, t+dt]\ |\ \text{IF}^{\text{U}}_{\overline{\text{prev}}}\text{ up at }t\cap\bcancel{\text{SM up at }t}\}\\ &=&\Pr\{\text{IF}^{\text{U}}\text{ down in }(t, t+dt]\ |\ \text{IF}^{\text{U}}\text{ up at }t\}\\ &=&\lambda_\text{IF}dt \end{eqnarray} \tag{1086.4} $$ です。ここで途中式でSM関連の項を消している理由は、記事#103の(103.4)に因るものです。

よって平均PUDは、 $$ \overline{q_\text{SPF(a),IFU}}=\frac{1}{T_\text{lifetime}}\int_0^{T_\text{lifetime}}(1-K_\text{IF,RF})R_\text{IF}(t)A_\text{SM}(t)\lambda_\text{IF}dt \tag{1086.5} $$ となります。

ここで、$A_\text{SM}(t)=(1-K_\text{SM,MPF})R_\text{SM}(t)+K_\text{SM,MPF}R_\text{SM}(u)$であるため、(1086.5)は $$ \begin{eqnarray} (1086.5)&=&\frac{1-K_\text{IF,RF}}{T_\text{lifetime}}\int_0^{T_\text{lifetime}}R_\text{IF}(t)\left[(1-K_\text{SM,MPF})R_\text{SM}(t)+K_\text{SM,MPF}R_\text{SM}(u)\right]\lambda_\text{IF}dt\\ &\approx&(1-K_\text{IF,RF})\lambda_\text{IF}-\frac{1-K_\text{IF,RF}}{2}\lambda_\text{IF}\lambda_\text{SM}\left[(1-K_\text{SM,MPF})T_\text{lifetime}+K_\text{SM,MPF}\tau\right]\\ &=&\bbox[#ccffff,2pt]{(1-K_\text{IF,RF})\lambda_\text{IF}-(1-K_\text{IF,RF})\alpha},\\ & &\text{ただし、} \alpha:=\frac{1}{2}\lambda_\text{IF}\lambda_\text{SM}\left[(1-K_\text{SM,MPF})T_\text{lifetime}+K_\text{SM,MPF}\tau\right] \end{eqnarray} \tag{1086.6} $$ です。

この導出では、SMがdownしている確率が$R_\text{SM}(t)$または$R_\text{SM}(u)$を通じて現れるため、2次の補正項として$\alpha$が現れます。一方で、SPF(a)そのものはIF non preventableの故障により生じるため、主項は従来どおり$(1-K_\text{IF,RF})\lambda_\text{IF}$です。

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本稿では、記事#367から始まる「MPF detectedへの変更の再検討」シリーズにおけるPMHF導出を再検討します。当時の記事では事象を自然言語で記述していますが、あえてそのままにします。訂正対象は、周期検査を含む積分評価において、$F(t)$, $F(u)$, $f(t)$, $f(u)$の寄与を取り違えた部分です。したがって本稿では、当時の記述スタイルとステート図を維持したまま、積分計算のみを修正します。

また、ISO 26262-10:2018の当該例では、SM1はIFの故障を検出、制御、通知する安全機構として示されています。そのため、本稿でも従来記事と同様に、SM1単独の故障が直接VSGとなる遷移は置かず、SM1故障はIF故障との組合せによりDPFを構成するものとして扱います。

再検討にあたっては計算の容易さから、図222.1を参照して、$\text{IF}^{\text{R}}$をpreventableとnon preventableに分解して考えます。具体的には、CTMC図1085.1に示すようにLAT2からの分岐をSPF方向(b)とDPF方向(c)に分離します。ただし、分解してもしなくても統合した結果は同じです。

(1085.1)に、新しい記号の定義を示します。

$$ \begin{eqnarray} \{\text{IF}^{\text{R}}_{\text{prev}}\text{ up at }t\}&:=&\{\text{IF}^{\text{R}}\text{ up at }t\ \cap\ \text{IF preventable}\}\\ \{\text{IF}^{\text{R}}_{\overline{\text{prev}}}\text{ up at }t\}&:=&\{\text{IF}^{\text{R}}\text{ up at }t\ \cap\ \overline{\text{IF preventable}}\}\tag{1085.1} \end{eqnarray} $$

より、

$$ \begin{eqnarray} \{\text{IF}^\text{R}\text{up at}t\}&=&\{\text{IF}^{\text{R}}_{\text{prev}}\text{ up at }t\}\cup\{\text{IF}^{\text{R}}_{\overline{\text{prev}}}\text{ up at }t\}\tag{1085.2} \end{eqnarray} $$

が成立します。

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PUA関連論文シリーズ最後は以下の論文です。

P. Hokstad, “The Failure Intensity Process and the Formulation of Reliability and Maintenance Models,” Rel. Eng. Syst. Safety, vol. 58, no. 1, pp 69–82, (Oct.) 1997.

以降翻訳はDeepLによるものです。まずアブストラクトを示します。

故障事象モデルの定式化に対する統一的なアプローチを示す。これは、修理可能なものと修理不可能なもの、予防保全と是正保全の両方を分析するための共通の枠組みを提供するものであり、休止故障のあるものにも適用できる。提案された手順は、一連のグラフによってサポートされ、それによって、固有の信頼性（すなわち、ハザード率）と保守・修理方針の両方の重要性を明らかにする。様々な故障強度の概念の定義／解釈は、このアプローチの基本である。したがって、これらの強度間の相互関係を検討し、それによってこれらの概念の明確化にも貢献する。これらの概念の中で最も基本的なものである故障強度過程は、計数過程（マーチンゲール）で使用されるものであり、その時点までの品目の履歴が与えられた時点tにおける故障率である。提案するアプローチは、いくつかの標準的な信頼性とメンテナンスのモデルを考えることによって説明される。

いろいろな不稼働度モデルが紹介されていますが、我々の関心があるのは定期検査を持つModel Dと呼ばれるモデルです。

Model D (休眠故障と定期的なテストを伴うアイテム)

一方、著者によれば、様々な確率過程は以下の定義となります。

Average intensity、もしくはAROCOF (Average Rate of OCcurrence Of Failure)は、 $$ i_\tau=\frac{1}{\tau}\int_0^\tau I(t)dt=\frac{1}{\tau}M(\tau) $$ 我々の定義では、$I(t)$は$q(t)$と、$M(t)$は$Q(t)$と定義します。元になる非修理系において一般的な記法であるPDF=$f(t)$、その積分であるCDF=$F(t)$を踏襲するなら$i$や$I$の大文字小文字は逆にして欲しかったところです。

我々は特に車両寿命間の平均PUDが知りたいため、PFHも同様の定義ですが、 $$ M_\text{PMHF}=\frac{1}{T_\text{lifetime}}\int_0^{T_\text{lifetime}} q(t)dt=\frac{1}{T_\text{lifetime}}Q(T_\text{lifetime})=i_{T_\text{lifetime}} $$ が求めたい平均不稼働密度です。

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次は以下の論文です。

J. Sobral, L. Ferreira, “Availability of Fire Pumping Systems Under Periodic Inspection,” J. Build. Eng., vol. 8, pp 285–291, (Dec.) 2016.

以降翻訳はDeepLによるものです。まずアブストラクトを示します。

消防ポンプシステムは、住宅、商業施設、工業施設など、あらゆる建物の消火に使用されている。これらのシステムは、建物保護の目的で設置された手動または自動装置に必要な水流と圧力を供給する役割を担っている。従って、望ましくない火災が発生した場合に、その可用性を保証することは非常に重要である。本稿では、消防ポンプ設備が定期的な点検や試験を受けた場合の可用性に焦点を当てる。これらの検査や試験は、システムの挙動を観察し、コンポーネントやサブシステムの潜在的な隠れた故障を検出するために実施される。本論文で提案する方法論は、第一段階として、重要な機器の要求時に故障が発生する確率を分析し、この重要な段階の成功確率を分析することに焦点を当てている。また、消防ポンプシステムの望ましい可用性に対する点検・試験頻度の影響も示す。

適用分野はだいぶ異なりますが、論文の(2)式は瞬間不稼働度を求めるもので、

$$ Q(T)=\frac{1}{T}\int_0^Tq(t)dt $$ と書かれています。これは我々のPUAと同じで、その場合$q(t)$はPUDということになります。

以降では本論文がPMHFをどのように導出するかを見ていきます。

$$ Q(\tau)=\frac{1}{\tau}\int_0^\tau(\tau-t)f(t)dt=\frac{1}{\tau}\int_0^\tau F(t)dt $$ ここで、F(t)を導出しており、$\tau-t$はダウンタイム幅と解釈されますが、式が誤っているようです。本来$f(t)$を積分すると$F(t)$になるため、積分せずに$F(t)$となることは改善の余地がありそうです。ただしavailabilityとしてsawtooth波形を掲載しているのは正しいので、その後の議論がおかしくなっているようです。

式はこの程度しか掲載されておらず、著者はPUAの一般式を導出していません。従ってこの論文の分析はここまでです。

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PUAに関する論文が複数出ているので、その内容を確認します。

J. Famfulik, M. Richtar et al, "Application of hardware reliability calculation procedures according to ISO 26262 standard," Qual. Rel. Eng. Int. 2020, pp. 1-15, doi: 10.1002/qre.2625

以降翻訳はDeepLによるものです。まずアブストラクトを示します。

自動車産業における機能安全評価のための規格ISO 26262（2018年版）第2版では、ランダムハードウェア故障の確率的メトリック（PMHF）を使用したハードウェア評価が要求されている。この規格では、フォールトツリー解析（FTA）の活用を強く推奨しているが、具体的な計算例は示されていない。そこで、本稿では、電子システムのさまざまなハードウェア・アーキテクチャに対する数式の導出と説明を含む計算手順について説明する。記述されている数式は、多重故障の影響やelf-testの影響を考慮しているが、数式は比較的単純である。この単純さにより、ハードウェア設計の頻繁な変更が予想されるハードウェア開発の初期段階で使用することができる。したがって、ケーススタディを添付したこの論文は、科学者だけでなく、自動車産業における重要な安全関連電子システムの開発者を対象としている。

PMHFの数学的な定義を平均的な車両寿命間の不信頼度の時間平均とした論文の(3)式は

$$ P_\text{MHF}=\frac{F_\text{AVG}}{t} $$ と書かれています。改善点としては細かいことを言えば、PMHFの表記は規格Part 10に従えば$P_\text{MHF}$ではなく$M_\text{PMHF}$です。またPMHFは車両寿命間の時間平均故障確率であるため、分母は$t$ではなく、$T_\text{lifetime}$(論文中では大文字の$T$)です。

従って論文の(3)式は正しくは $$ M_\text{PMHF}=\frac{F_\text{AVG}}{T} $$

とすべきです。ここで問題は$F_\text{AVG}$は不信頼度の平均です。ところがこれはおかしく、$T$で割っていることが車両寿命間の時間平均を表すので、分子は積分値であるべきです。そのため筆者の平均値の認識には改善点があると言うべきです。これは以下の式にも認めることができます。論文の(5)式は

$$ F(t)=\lambda t $$ これは不信頼度の式で、非修理系においては正しい式です。ところが問題は次の$F_\text{AVG}$で、論文の(6)式は

$$ F_\text{AVG}=\frac{1}{t}\int_0^t F(t)dt $$ つまり、(6)式においてF(t)を平均化した後さらに(3)式において$T$で割るという2重に平均を取ることを行っています。

本来は、我々の記法に従えば、 $$ M_\text{PMHF}=Q_\text{AVG}=\frac{Q(T)}{T} =\frac{1}{T}\int_0^T q(t)dt $$ とするのが正しい方法です。ここで$Q(t)$はPUA, $q(t)$はPUDです。

以降では本論文がPMHFをどのように導出するかを見ていきます。

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次は(15)の導出です。

論文"Generic Equations for a Probabilistic Metric for Random Hardware Failures According to ISO 26262"において、以下の2か所の式変形過程が分からないが、どうして次の式(13), (15)が導出されるのか？

(13)　省略、前ページで解説

これは既に過去ブログでも記載済みなのでその箇所を返信しました。

Equation (103.6) in the following blog post is what you are looking for.
次のブログ記事の式(103.6)があなたが探しているものです。
https://fs-micro.com/post/show/id/103.html
Here's the trick: we transform it using $F(t)$ instead of $R(t)$. Because our integral formula
ここにトリックがあります。$R(t)$の代わりに$F(t)$を用います。なぜなら、我々の積分公式
https://fs-micro.com/post/show/id/60
can be used.
が使えるからです。

返信の際に$F(t)$に言及したのは、読者の方がご自分で変形し、$R(t)$の形式を導出した後行き詰っていたのでヒントを示しています。以下に記事の(103.6)を再掲します。

よって、(103.1)に(103.1.5)、(103.1.3)、$\Pr\{\overline{\text{VSG of IF preventable}}\}=1-K_\text{IF,RF}$(100.3)を用いた上で、故障率(66.6)及びPUA(59.8)を適用すれば、平均PUDは、 $$ \begin{eqnarray} \overline{q_\text{SPF,IFU}}&=&\frac{1}{T_\text{lifetime}}\int_0^{T_\text{lifetime}}(1-K_\text{IF,RF})R_\text{IF}(t)A_\text{SM}(t)\lambda_\text{IF}dt\\ &=&\frac{1-K_\text{IF,RF}}{T_\text{lifetime}}\int_0^{T_\text{lifetime}}\left[1-Q_\text{SM}(t)\right]f_\text{IF}(t)dt\\ &=&\frac{1-K_\text{IF,RF}}{T_\text{lifetime}}\int_0^{T_\text{lifetime}}f_\text{IF}(t)dt-\frac{1-K_\text{IF,RF}}{T_\text{lifetime}}\int_0^{T_\text{lifetime}}Q_\text{SM}(t)f_\text{IF}(t)dt\\ &=&\frac{1-K_\text{IF,RF}}{T_\text{lifetime}}F_\text{IF}(T_\text{lifetime})\\ & &-\frac{1-K_\text{IF,RF}}{T_\text{lifetime}}\int_0^{T_\text{lifetime}}\left[(1-K_\text{SM,MPF})F_\text{SM}(t)+K_\text{SM,MPF}F_\text{SM}(u)\right]f_\text{IF}(t)dt,\\ & &\text{ただし、}u:=t\bmod\tau \tag{103.1.6} \end{eqnarray} $$ よって、$F_\text{IF}(t)=1-e^{-\lambda_\text{IF}t}\approx\lambda_\text{IF}t$と近似する0におけるTaylor展開(すなわちMaclaurin展開)及び弊社積分公式により、 $$ \overline{q_\text{SPF,IFU}}\approx(1-K_\text{IF,RF})\lambda_\text{IF}-\frac{1-K_\text{IF,RF}}{2}\lambda_\text{IF}\lambda_\text{SM}\left[(1-K_\text{SM,MPF})T_\text{lifetime}+K_\text{SM,MPF}\tau\right]\\ \tag{103.1.7} $$

1st editionでは定期修理期間を$\tau$で表していましたが、2nd editionでは表記が$T_\text{service}$に変わりました。従って、 $$ \overline{q_\text{SPF,IFU}}\approx(1-K_\text{IF,RF})\lambda_\text{IF}-\frac{1}{2}(1-K_\text{IF,RF})\lambda_\text{IF}\lambda_\text{SM}\left[(1-K_\text{SM,MPF})T_\text{lifetime}+K_\text{SM,MPF}T_\text{service}\right] $$ となり、(15)が成立します。

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本ブログでは5年ほど前に初出の記事を掲載した後この記事から5本に渡り$Q(t)$について記載しました。

中でも初出の記事は計算過程を示しています。ここでは(59.5)から(59.6)への導出には説明がなかったのでここで解説します。再掲すれば、(626.1)から(626.4)への導出です。まずA(t)は、

$$ A(t):=R(t)+\int_0^t m(x)R(t-x)dx\tag{626.1} $$

ここで$m(x)$はリニューアル密度と呼ばれますが、その時間積分した$M(x)$は時刻$x$までに故障した分について検査・修理した分であり、2つの要素が掛けられています。つまり検査率を$K_\text{SM,MPF}$(const.)、故障した分を$F_\text{SM}(x)$としたとき、検査・修理は連続時間ではなく定期的、すなわち離散的に実行されるため、修理時刻$x$は、$x=i\tau,\ i=1, 2, 3,...$という飛び飛びの値をとります。

故障した時刻に無関係に修理は行われます。これは故障する確率に関わらず、検査・修理時には検査可能な故障は全て修理されるためです。ということは前回の修理時には検査可能な故障＝不信頼度はゼロになるはずで、検査周期＝$\tau$においては不信頼度は$F_\text{SM}(\tau)$(const.)となります。よって、$M(x)$は $$ M(i\tau)=\int_0^\tau m(x)dx=K_\text{SM,MPF}\int_0^\tau f(x)dx=K_\text{SM,MPF}F_\text{SM}(\tau),\ \ i=1, 2, ...\tag{626.2} $$ のようにconst.となります。そして、離散的な関数の積分はシグマに置き換えられるため、 $$ \int_0^t m(x)R(t-x)dx=K_\text{SM,MPF}F_\text{SM}(\tau)\sum_{i=1}^{n}R(t-i\tau) \tag{626.3} $$ となります。これらを(626.1)に代入すれば、

$$ A_\text{SM}(t)=R_\text{SM}(t)+K_\text{SM,MPF}F_\text{SM}(\tau)\sum_{i=1}^{n}R_\text{SM}(t-i\tau)\tag{626.4} $$ が得られます。$Q(t)$に書き換えれば、 $$ Q_\text{SM}(t)=F_\text{SM}(t)-K_\text{SM,MPF}F_\text{SM}(\tau)\sum_{i=1}^{n}R_\text{SM}(t-i\tau)\\ =\img[-1.35em]{/images/withinseminar.png},\ \ s.t.\ \ u\equiv t-n\tau=t-\lfloor\frac{t}{\tau}\rfloor\tau \tag{626.5} $$ が得られます。さらにこれを時間$t$微分したものが弊社命名のPUD(Point Unavailability Density)であり

$$ q(t)=\img[-1.35em]{/images/withinseminar.png} $$ となり、この車両寿命間の時間平均こそがPMHFとなるわけです。 $$ M_\text{PMHF}\equiv\frac{1}{T_\text{lifetime}}\int_0^{T_\text{lifetime}}q(t)dt=\frac{1}{T_\text{lifetime}}Q(T_\text{lifetime}) $$ なお、本稿はRAMS 2025に投稿予定のため一部を秘匿しています。

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